3.2 Grundlagen zur Verkettung von Kreislaufwiderständen

Für die verketteten Zweigwiderstände der Kühlkreisläufe, die sich aus mehreren Teilwiderständen zusammensetzen, ergeben sich folgende Widerstandstypen:

  • Zweigwiderstände, die sich aus zweigstromabhängigen Widerständen zusammensetzen, z.B. wenn nach untenstehendem Bild die Verzweigungswiderstände an den Knotenpunkten R3 = 0 wirksam werden.
  • Zweigwiderstände, die sich aus zweigstromabhängigen Widerständen und einem vom Volumenstromverhältnis abhängigen Verzweigungswiderstand zusammensetzen, z.B. wenn nach vorherigem Bild an einem Knotenpunkt der Verzweigungswiderstand R3 = 0 und am anderen Knotenpunkt der Verzweigungswiderstand R1 oder R2 wirksam wird.
  • Zweigwiderstände, die sich aus zweigstromabhängigen Widerständen und vom gleichen Volumenstromverhältnis abhängigen Verzweigungswiderständen zusammensetzen, z.B. wenn nach vorherigem Bild an den Knotenpunkten die vom gleichen Volumenstromverhältnis \dot V_{1}/\dot V_{2} abhängigen Verzweigungswiderstände R1 oder R2 wirksam werden.
  • Zweigwiderstände, die sich aus zweigstromabhängigen Widerständen und vom ungleichen Volumenstromverhältnis abhängigen Verzweigungswiderständen zusammensetzen, z.B. wenn nach vorherigem Bild an den Knotenpunkten die vom ungleichen Volumenstromverhältnis \dot V_{1}/\dot V_{2} abhängigen Verzweigungswiderstände R1 oder R2 wirksam werden.

Bei Kühlkreislaufberechnungen können im Voraus nur die ersten Widerstandstypen volumenstrom- und volumenstromverhältnisabhängig festgelegt werden. Beim letzten Widerstandstyp ist die Kenntnis der Volumenstromverteilung an den Knotenpunkten des Zweigwiderstandes erforderlich, die sich jedoch erst im Laufe der Berechnung des Gesamtkreislaufes ergibt.

Zur mathematischen Lösung von Kühlkreisläufen mit r Zweigen, s Knotenpunkten und t Maschen bei bekannten Widerständen und Kühlmittelpumpen sind erforderlich:

 r Gleichungen der Form                                           Y_V=R \cdot \dot V_{2}
(Grundgesetz)

s – 1 Gleichungen der Form                                      \sum \dot V = 0
(Knotenpunktgesetz)

t = r – s + 1 Gleichungen der Form                          \sum Y_V = 0
(Maschengesetz)

Dabei werden entsprechend folgendem Bild die Verzweigungspunkte des Kühlkreislaufes als Knotenpunkte, die Verbindung zweier Knotenpunkte als Zweig und die Verbindung der Zweige als Masche bezeichnet:

Für die Ermittlung der 2 \cdot r Unbekannten wären bei t Maschen Gleichungen 2^t-ten (zwei hoch t-ten) Grades erforderlich, deren Lösungen, wenn überhaupt, so nur mit großem Aufwand gefunden werden können. Lediglich bei Reihen- und Parallelschaltung von Zweigwiderständen ergeben sich für die widerstandsgetreue Netzumwandlung aus den genannten Beziehungen einfache Berechnungsverhältnisse. Es gilt:

Reihenschaltung

    \[\boldsymbol {Y_\text{V ges}=\sum_{i=1}^j Y_{\text {V i}}}\]

    \[\boldsymbol {R_{ges}\cdot \dot {V}_{ges}^2=\sum_{i=1}^j R_{i}\cdot \dot{V}_i^2}\]

wegen \dot{V}_{ges}=\dot{V}_{i} für i=1,…,j :

    \[\boldsymbol {R_{ges}=\sum_{i=1}^j R_{i} }\]

Parallelschaltung

    \[\boldsymbol {\dot V_{ges}=\sum_{i=1}^k \dot V_{i}}\]

    \[\boldsymbol {\sqrt{\frac{Y_\text {V ges}}{R_{ges}}}=\sum_{i=1}^k \sqrt{\frac{Y_\text {V i}}{R_{i}}}}\]

wegen {Y}_\text{V ges}={Y}_\text{V i} für i=1,…,k :

    \[\boldsymbol {R_{ges}=\left[\frac{1}{\sum_{i=1}^k \frac{1}{\sqrt{R_{i}}}} \right]^2}\]

Für die Berechnung von nicht auf eine Reihenschaltung oder Parallelschaltung zurückzuführenden Kühlkreislaufnetzen müssen mathematische Verfahren mit einer Näherungslösung angewendet werden. Bei diesen Berechnungen ist jedoch darauf zu achten, dass grundsätzlich der Berechnungsvorgang mit konstanten Strömungswiderständen und Kühlmittelpumpenkenngrößen begonnen wird, weil wegen der gegenseitigen Abhängigkeit der Strömungswiderstände und der Pumpenkenngrößen von der Mengenstromverteilung und des Gesamtwiderstandes ein mehrfaches Wiederholen des Rechenvorganges, also Iterationen notwendig werden.

 

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