4.6 Proportionalitätsgesetze

Die Kennlinien einer Kreiselpumpe lassen sich mittels Proportionalitätsgesetzen auf andere Drehzahlen umrechnen. Dies erklärt sich aus folgenden Verhältnissen am Schaufelrad:

Ändert man bei einer Pumpe, welche für eine bestimmte Förderleistung konzipiert wurde, die Drehzahl, so verändert sich auch die Umfangsgeschwindigkeiten am Eintritt von u_1 auf u'_1 und am Austritt von u_2 auf u'_2.

Da ebenso wie der Eintrittswinkel wegen der festen Geometrie die Eintrittsquerschnittsfläche unverändert bleibt, ändert sich nach der Kontinuitätsgleichung  \dot V = A \cdot c  die  Fördermenge proportional mit der Eintrittsgeschwindigkeit c_1. Es ändert sich c_1 auf c'_1 im gleichen Verhältnis wie die Drehzahl, damit ergibt sich für den Volumenstrom

    \[\boldsymbol { \frac{\dot{V}_1}{\dot{V}_2}=\frac{n_1}{n_2}}\]

und damit für den rechnerisch zu ermittelnden Volumenstrom:

    \[\boldsymbol {\dot{V}_2=\frac{\dot{V}_1 \cdot n_{2}}{n_{1}}}\]

Wegen der aus der Hauptgleichung für Strömungsmaschinen bekannten Proportionalität von  Förderhöhe bzw. spezifischer Stutzenarbeit  zum Produkt aus Umfangsgeschwindigkeit u_2  und Umfangskomponente c_{u2} ergibt sich eine quadratische Abhängigkeit zur Drehzahländerung. Für die spezifische Förderenergie, die Förderhöhe, den Pumpendifferenzdruck und dem Pumpendrehmoment gilt:

    \[\boldsymbol {\frac{Y_1}{Y_2}=\frac{H_1}{H_2}=\frac{\Delta p_1}{\Delta p_2}=\frac{M_{d1}}{M_{d2}}=\frac{n_1^2}{n_2^2}}\]

Die Pumpennutzleistung ist dem Produkt aus Pumpendifferenzdruck und Volumenstrom proportional, deshalb gilt: 

    \[\boldsymbol {\frac{P_{Nutz 1}}{P_{Nutz 2}}=\frac{n_1^3}{n_2^3}}\]

Zu beachten ist, dass sich die Pumpenantriebsleistung nicht nach den Proportionalitätsgesetzen auf andere Drehzahlen umrechnen lässt, da sich der Wirkungsgrad der Pumpe im Kennfeld ändert.

Die Kavitationskenngrößen lassen sich mit den Proportionalitätsgesetzen nicht herleiten. Aus empirischen Ermittlungen wurde folgende Abhängigkeit von der Drehzahländerung ermittelt (siehe dazu auch Kapitel 5 Kavitation):

    \[\boldsymbol {\frac{NPSH_1}{NPSH_2}=\frac{n_{1}^{1,3...2}}{n_{2}^{1,3...2}}}\]

Zusammenfassend gelten folgende Proportionalitäten: 

    \[\boldsymbol {\dot{V}\sim n \,\,\,\,;\,\,\,\,Y,H,\Delta p, M_d\sim n^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\, P_{Nutz}\sim n^{3}\,\,\,\,; \,\,\,\,NPSH\sim n^{1,3...2}}\]

formelzeichen 4 6Mittels der vorher dargestellten Proportionalitätsgesetze für Kreiselpumpen kann bei der Pumpenkennfeldermittlung die Genauigkeit der Messwerte bzw. die Güte der Messung überprüft werden. Dazu wird ein sogenanntes \dot V_{50}, Y_{50} –Kennfeld erstellt (siehe Bilder unten). Die 50 steht dabei für 50 U/s, also für eine Pumpendrehzahl von 3000 U/min. Alternativ kann eine Auftragung über die dimensionslosen Größen Druckzahl und Lieferzahl erfolgen.
Es werden die Pumpenkenngrößen bei der Kennfeldermittlung auf die Pumpendrehzahl von 3000 U/min  nach den obenstehenden Berechnungsvorschriften umgerechnet. Die Werte müssen dabei etwa auf einer Linie liegen. Ansonsten liegen Fehlmessungen vor oder die Messgenauigkeit z.B. der Druckgeber ist nicht hoch genug. Prinzipiell können auch andere Referenzdrehzahlen als 3000 U/min und andere Pumpenkenngrößen als die spezifische Stutzenarbeit Y gewählt werden.

Zu untersuchen wäre, inwieweit die Proportionalitätsgesetze für Kreiselpumpen auch für nicht voll turbulente Strömung gelten. Dies ist insofern wichtig, als dass bei immer weiter abgesenkter Leerlaufdrehzahl bei Kfz-Verbrennungsmotoren auch die Pumpendrehzahl so weit verringert wird, dass keine voll turbulent ausgebildete Strömung mehr gewährleistet werden kann. Damit ergeben sich wegen des geringeren Wärmeaustausches und des Ansteigens des Strömungswiderstandes Kühlungsprobleme z.B. im Heißleerlauf. Es wird nur noch unzureichend die Wärme von den Zylinderlaufbuchsen sowie im Zylinderkopf abgeführt und es kann zur Motorüberhitzung kommen.
Im \dot V_{50}, Y_{50} –Kennfeld sollte erkennbar sein, wenn keine hydraulisch raue Strömung mehr vorliegt, indem die Werte der Messung bei dieser kleinen Drehzahl wesentlich von der gemeinsamen Kennlinie abweichen. Im Pumpenkennfeld sind solche Abweichungen nicht zu erkennen, da die kleinste Drehzahl meist achsennah zur X-Achse liegt. Somit kann das \dot V_{50}, Y_{50}-Kennfeld frühzeitig im Motorentwicklungsprozess auf Kühlungsprobleme hinweisen.

Der Kennlinienverlauf der Kühlmittelpumpe kann mit Variation des Schaufelraddurchmessers, z.B. durch Abdrehen, beeinflusst werden. Mit D_2 als Ausgangsdurchmesser und D'_2 als vorgegebenem oder zu berechnendem Durchmesser gilt:

    \[\boldsymbol {\frac{\dot V_1}{\dot V_2}=\frac{D_2}{D'_2}}\]

    \[\boldsymbol {\frac{H_1}{H_2}=\frac{D_2^2}{D_2^{'2}}}\]

    \[\boldsymbol {\frac{P_{Nutz\,1}}{P_{Nutz\,2}}=\frac{D_2^3}{D_2^{'3}}}\]

Unter Voraussetzung gleicher Pumpenwirkungsgrade gilt die Gleichung zur Umrechnung der Pumpennutzleistung auch für die Pumpenantriebsleistung.

 

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