4.11.3 Ermittlung des Schaufelradaußendurchmessers

Der Schaufelradaußendurchmesser ist eine geometrische Schaufelradkenngröße, mit welcher die erreichbare Pumpenförderhöhe wesentlich bestimmt wird. Es ist eine Vielzahl von Berechnungsmethoden zur Ermittlung des Außendurchmessers bekannt. Dabei treten unterschiedlich große Abweichungen zum letztendlich vorhandenen bzw. notwendigen Außendurchmesser auf.
Nachfolgend sollen einige Berechnungsvarianten vorgestellt werden, die teils gute Übereinstimmungen mit den notwendigen Schaufelradaußendurchmessern ergaben. Dabei ist es durchaus möglich, dass für verschiedene Kfz-Kühlmittelpumpen auch unterschiedliche Berechnungsvarianten angewandt werden müssen, d.h. dass es für alle Pumpenausführungen die eine gültige Berechnungsvorschrift nicht gibt. Dies liegt an der empirischen Ermittlung der jeweiligen Auslegungsvorschrift.

Vorgeschlagen wird die Berechnung des Außendurchmessers mit unterschiedlichen Auslegungsvorschriften und der abschließende Vergleich mit dem letztendlich zur Erreichung des geforderten Pumpenauslegungspunktes notwendigen Außendurchmessers. Bei mehreren ausgelegten Pumpen erhält man dann für den jeweiligen Auslegungsfall die Berechnungsvorschrift mit der besten Übereinstimmung.

1. Ermittlung von D_{2a} über die Druckzahl \psi

Für die Ermittlung der Druckzahl \psi werden verschiedene Wege aufgezeigt:

a) In Schulz, H.: Die Pumpen, 13 Auflage Springer Verlag 1977 werden folgende Richtwerte für die Druckzahl \psi empfohlen:

Pumpen mit Spiralgehäuse Druckzahl \psi = 0,9…1,0
Pumpen mit Leitrad Druckzahl \psi = 1,0…1,1
Pumpen mit Leitring Druckzahl \psi = 0,8…0.9

b) Die Druckzahl \psi kann nach Bohl/Elmendorf: Strömungsmaschinen I und II, Vogel Buchverlag Würzburg abhängig von der Laufzahl \sigma  aus folgender Grafik entnommen werden (der ebenfalls dargestellte Geschwindigkeitsbeiwert soll hier zunächst ausgeblendet werden):

c) In Pekrun,M.: Wirkungsgrade und Verlustzahlen bei Kreiselpumpen. Vortragsveröffentlichung, Heft 157. Haus der Technik, Essen. Vulkanverlag werden folgende Näherungsgleichungen für \psi angegeben:

für Laufzahl \sigma = 0,09…0,38

    \[\boldsymbol {\psi\approx\frac{0,727}{\sigma^{0,2}}}\]

für Laufzahl \sigma > 0,38

    \[\boldsymbol {\psi\approx\frac{0,479}{\sigma^{2/3}}}\]

Diese Näherungsgleichungen sollten ggf. an moderne, ausgeführte Pumpenschaufelräder anpasst werden.

Nachdem aus den unter a),b) und c) angegebenen Vorschriften die Druckzahl \psi ermittelt wurde, kann mit folgender Formel der Schaufelradaußendurchmesser D_{2a} berechnet werden:

    \[\boldsymbol {D_{2a}=0,45\cdot \frac{1}{n}\cdot\sqrt{\frac{g \cdot H}{\psi}}}\]

2. Ermittlung von D_{2a} über den Geschwindigkeitsbeiwert k_{u2a}

Der Geschwindigkeitsbeiwert k_{u2a} wird abhängig von der Laufzahl \sigma aus dem unter 1b) (siehe oben) gezeigten Diagramm zur Ermittlung der Beiwerte \psi  und k_{u2a} entnommen. Mit diesem Beiwert ergibt sich eine Umfangsgeschwindigkeit u_{2a} am Außendurchmesser:

    \[\boldsymbol {u_{2a}=k_{u2a}\sqrt{2\cdot g \cdot H}}\]

Für die Förderhöhe H sollte ein korrigierter Wert nach 4.11.2 verwendet werden.

Nun kann der Schaufelrad-Außendurchmesser D_{2a}  berechnet werden:

    \[\boldsymbol {D_{2a}=\frac{u_{2a}}{\pi \cdot n}}\]

Bei Nachrechnungen ergaben sich mit dieser Methode gute Übereinstimmungen für kleine ausgeführte Schaufelrad-Durchmesser, insofern zur Berechnung ein korrigierter Wert für die Förderhöhe H verwendet wurde.

 

3. Ermittlung von D_{2a}   nach GRABOW

Nach Grabow,G.: Ermittlung der hydraulischen Abmessungen der Laufräder für Kreiselpumpen und Kreiselvedichter. Zeitschrift  Konstruktion, 13.Jg (1961) wird der  Schaufelrad-Durchmesser mit folgender empirischer Formel entwickelt:

    \[\boldsymbol {D_{2a}=\left(\frac{1,1835\cdot s^{-1}\cdot m^{0,5}+K}{n}\cdot\sqrt{H}\right)}\]

mit K=1,1833…1,25 s^{-1} \cdot m^{0,5}

formelzeichen 4.11.3

4. Ermittlung von D_{2a} über die Durchmesserzahl \delta

Die Durchmesserzahl kann nach Berechnung der Laufzahl näherungsweise aus

    \[\boldsymbol {\delta\approx \frac{1,075}{\sigma^{0,96}}}\]

errechnet oder aus dem Cordier-Diagramm entnommen werden:

Der Schaufelrad-Durchmesser errechnet sich dann aus:

    \[\boldsymbol {D_{2a}=\delta \cdot\frac{2\cdot \sqrt{\dot V}}{\left(2\cdot g \cdot H\right)^{0,25}\cdot \sqrt{\pi}}}\]

 

5. Ermittlung von D_{2a} nach Weigend, F.: Vergleich von theoretisch und experimentell ermittelten Kühlmittelpumpenkenngrößen, Zwickau: Diplomarbeit Technische Hochschule Zwickau:

F. Weigend gibt folgende empirische Formel zur Berechnung des Schaufelrad-Außendurchmessers an:

    \[\boldsymbol {D_{2a}\approx \sqrt{\frac{g\cdot H}{\eta_{ges}\cdot \mu \cdot \pi^{2}\cdot n^{2}}}}\]

Der Pumpenwirkungsgrad \eta_{ges}  kann zunächst aus folgender Grafik abgeschätzt werden:

Der Minderleistungsfaktor \mu liegt i.A. im Bereich von 0,5…0,75, nach anderen Angaben zwischen 0,65…0,85.

(Bemerkung: Eine Streuung des Minderleistungsfaktors zwischen 0,5 und 0,85 ist viel zu groß, um einen exakten Außendurchmesser zu berechnen. Der Minderleistungsfaktor muss bei der hier vorgestellten Außendurchmesser-Berechnungsvorschrift wesentlich genauer bestimmt werden, siehe auch nachfolgenden Abschnitt 4.11.4.)

 

6. Ermittlung von D_2a nach Weber, F.J.: Arbeitsmaschinen: Kreiselpumpen und Verdichter, 2., verbesserte Ausgabe. VEB Verlag Technik Berlin 1962

Die Größe des Schaufelradaußendurchmessers D_{2a} und die Form der Schaufel am Austritt sind von der Förderhöhe H bzw. der spezifischen Stutzenarbeit Y abhängig. Das Schaufelradaustrittsdreieck muss der theoretischen Hauptgleichung für Strömungsmaschinen (Eulersche Hauptgleichung) entsprechen. Da mit

    \[\boldsymbol {Y_{th\, \infty}=c_{u2}\cdot u_{2}}\]

nur das Produkt c_{u2} \cdot u_2 bekannt ist, für das Austrittsdreieck jedoch 3 Bestimmungsgrößen benötigt werden, müssen noch zwei weitere voneinander unabhängige Größen zur Durchmesserberechnung angenommen werden.

Diese angenommenen Kenngrößen sind die Meridiankomponente c_{m2} und der Austrittswinkel \beta_2.

Bei radialer Einströmung mit \alpha_0 = 90° ist c_0 = c_{m0} = (1,0...1,1) \cdot c_S.

Übliche Werte von c_{m2} gibt WEBER  für Flüssigkeits- und Gasförderung mit

    \[\boldsymbol {c_{m2}\approx\left(0,7...0,9...1,0\right)\cdot c_{m0}}\]

an.

Der Austrittswinkel \beta_2 liegt im Regelfall zwischen 20°….50°, bekannt sind aber auch vor allem bei notwendigen Kennlinienanpassungen bei vorgegebenem Bauraum wesentlich größere Werte.
Aus der theoretischen Hauptgleichung in Förderhöhen-Schreibweise lässt sich unter Zuhilfenahme des Austrittsdreieckes die Umfanggeschwindigkeit u_2 berechnen:

Für \alpha=90° gilt

    \[\boldsymbol {H_{th\,\infty}=\frac{c_{u2}\cdot u_{2}}{g}}\]

und daraus

    \[\boldsymbol {g\cdot H=c_{u2}\cdot u_{2}=u_{2}\cdot \left(u_{2}-\frac{c_{m2}}{tan\beta_2}\right)=u_2^2-\frac{u_{2}\cdot c_{m2}}{tan\beta_2}}.\]

Man erhält für u_2 eine quadratische Gleichung, die auf die Normalform

    \[\boldsymbol {u_2^2-\frac{c_{m2}}{tan\beta_2}\cdot u_{2}-g\cdot H_{th\,\infty}=0}\]

gebracht werden kann. Diese Gleichung nach u_2 [m/s] aufgelöst ergibt:

für \alpha=90°

    \[\boldsymbol {u_2^2=\frac{c_{m2}}{2\cdot tan\beta_2}+\sqrt{\left(\frac{c_{m2}}{2\cdot tan\beta_2}\right)^2+g\cdot H_{th\, \infty}}}\]

für \alpha≠90°

    \[\boldsymbol {u_2^2=\frac{c_{m2}}{2\cdot tan\beta_2}+\sqrt{\left(\frac{c_{m2}}{2\cdot tan\beta_2}\right)^2+g\cdot H_{th\, \infty}+u_{1}\cdot c_0 \cdot cos\alpha_0}}\]

Die zweite Lösung dieser Gleichungen mit negativem Vorzeichen vor der Wurzel kann unberücksichtigt bleiben, da u_2 nicht negativ werden kann.
Nachteilig bei Verwendung obenstehender Gleichungen ist, dass darin nicht die gegebene Förderhöhe H, sondern die theoretische Förderhöhe für unendliche Schaufelzahl H_{th\, \infty} benötigt wird. Mit

    \[\boldsymbol {H_{th\, \infty}=\frac{H}{\eta_h \cdot \mu}}\]

müssen zunächst der hydraulische Wirkungsgrad \eta_h und der Minderleistungsfaktor \mu abgeschätzt werden. Der hydraulische Wirkungsgrad \eta_h sollte je nach Pumpengröße im Bereich von 0,7…0,95  liegen. Der Minderleistungsfaktor kann aus empirisch gefundenen Beziehungen, wie im nachfolgenden Kapitel 4.11.4 dargestellt, ermittelt werden.

Aus der berechneten Umfangsgeschwindigkeit kann der Schaufelrad-Außendurchmesser berechnet werden:

    \[\boldsymbol {D_{2}=\frac{u_{2}}{\pi\cdot n}}\]

7. Richtwerte nach DIN 24255

Für Schaufelraddurchmesser ab 125mm können die Richtwerte für die  Außendurchmesser aus der DIN 24255 entnommen werden.

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