4.12.1 Konstruktion der einfach gekrümmten Schaufel

Für die Formgebung der Schaufeln sind der Eintrittswinkel \beta_1 und der Austrittswinkel \beta_2 maßgebend. Es soll eine allmähliche Verringerung der Relativgeschwindigkeit von w_1 auf w_2 ohne Gefahr einer Strömungsablösung gewährleistet sein. Die Festlegung der Schaufelform erfolgt nach der zweidimensionalen Stromfadentheorie, bei der Gleichheit des Strömungszustandes über einen Parallelkreis angenommen wird. Diese Annahme trifft jedoch nur bei unendlicher Schaufelzahl zu und führt bei spezifischen Drehzahlen bis n_q ≈ 50 zu guten Ergebnissen.

a) Festlegung der Schaufelform aus einem Kreisbogen nach Bohl/Elmendorf: Strömungsmaschinen I und II, Vogel Buchverlag Würzburg

Die Schaufelform als Kreisbogen stellt die einfachste Konstruktionsvariante dar. Die Schaufeln können rückwärts- sowie vorwärtsgekrümmt ausgeführt werden. Die Kreisbogenschaufel erhält eine konstante Krümmung R: 

    \[\boldsymbol {R=\frac{r_2^2-r_1^2}{2\cdot \left(r_{2}\cdot \cos\beta_2-r_{1}\cdot \cos\beta_1\right)}}\]

Der geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte ist der Radius \varrho und wird bestimmt mit:

    \[\boldsymbol {\varrho=\sqrt{r_1^2+R^{2}-2\cdot r_{1}\cdot R\cdot \cos\beta_1}}\]

Der Zentriwinkel \vartheta errechnet sich aus:

    \[\boldsymbol {tan\frac{\vartheta}{2}=\frac{r_{2}\cdot cos\beta_2-r_{1}\cdot cos\beta_1}{r_{2}\cdot sin\beta_2+r_{1}\cdot sin\beta_1}}\]

 

b) Festlegung der Schaufelform aus zwei Kreisbögen

Die Schaufelkonstruktion aus zwei Kreisbögen kann aus Weber, F.J.: Arbeitsmaschinen: Kreiselpumpen und Verdichter, 2., verbesserte Ausgabe. VEB Verlag Technik Berlin 1962 und aus Bommes, L.; Kramer, C. u.a.: Ventilatoren. expert-verlag 1990. S224/226. entnommen werden.

 

c) Punktweise Berechnung der Schaufel nach Bohl/Elmendorf: Strömungsmaschinen I und II, Vogel Buchverlag Würzburg

Die punktweise konstruierte Schaufel besteht nicht aus Kreisbögen, sondern wird in ihrer ganzen Länge festgelegt. Die einzelnen Punkte der Schaufeln werden im Polarkoordinatensystem dargestellt, d.h. es werden jeweils zu einem beliebigen Radius r der entsprechende Winkel \varphi (vom Anfangspunkt A der Schaufel aus gemessen) berechnet.

    \[\boldsymbol {\varphi=\int_{r_{1}}^{r} d\varphi=\int_{r_{1}}^{r} \frac{dr}{r\cdot tan\beta}}\]

Der Abstand zwischen r_2 und r_1 wird in eine Anzahl gleicher Intervalle \Delta r unterteilt:

    \[\boldsymbol {\Delta r=\frac{r_{2}-r_1}{Anzahl}}\]

Für die Darstellung einer beliebigen Schaufelkontur in Polarkoordinaten r und \varphi ergibt sich folgendes Verfahren:

Unter der Annahme, dass die Funktion \beta = f(r) linear verläuft, kann die Integration von

    \[\boldsymbol {\varphi=\int_{r_{1}}^{r} d\varphi=\int_{r_{1}}^{r} \frac{dr}{r\cdot tan\beta}}\]

nummerisch erfolgen. Nun kann für jeden Radius r ein Winkel \varphi bestimmt werden.

Für i=1 bis Anzahl werden folgende 3 Rechenschritte durchgeführt:

    \[\boldsymbol {\beta_i=\frac{\beta_2-\beta_1}{r_{2}-r_{1}}\cdot \left(i-1\right)\cdot \Delta r+ \beta_1}\]

    \[\boldsymbol {a_{i}=\frac{1}{\left(r_{1}+\left(i-1\right)\cdot\Delta r\right)\cdot tan\beta_i}}\]

    \[\boldsymbol {\Delta \varphi_i=\frac{a_{i}+a_{i+1}}{2}\cdot \Delta r}\]

In der Ausgabe 2013 Bohl/Elmendorf: Strömungsmaschinen I und II, Vogel Buchverlag Würzburg wird ein von diesen Vorschriften abweichender Rechenweg unter Nutzung der Funktion

    \[\boldsymbol {f(r)=\frac{1}{r \cdot tan\beta}}\]

angegeben und kann ggf. dort herausgesucht werden.
Der Gesamtwinkel ergibt sich dann zu:

    \[\boldsymbol {\varphi=\sum_{i=1}^{Anzahl} \Delta \varphi_i}\]

formelzeichen 4.12.1d) Punktweise Berechnung der Schaufel nach Weber, F.J.: Arbeitsmaschinen: Kreiselpumpen und Verdichter, 2., verbesserte Ausgabe. VEB Verlag Technik Berlin 1962

Bei Flüssigkeitsförderung, also bei üblicher starker Rückwärtskrümmung der Schaufeln, hat sich der lineare c_m– und w-Verlauf bewährt. Die Meridiangeschwindigkeiten c_{m1} und c_{m2} und die Winkel \beta_1 und \beta_2 sind aus der Entwurfsrechnung bekannt, die Relativgeschwindigkeiten w_1 und w_2 lassen sich über das rechtwinklige Dreieck berechnen:

    \[\boldsymbol {w_{1}=\frac{c_{m1}}{sin\beta_1}}\]

    \[\boldsymbol {w_{2}=\frac{c_{m2}}{sin\beta_2}}\]

    \[\boldsymbol {\Delta c_{m}=\frac{c_{m1}-c_{m2}}{Intervallanzahl}}\]

    \[\boldsymbol {\Delta w=\frac{w_{1}-w_{2}}{Intervallanzahl}}\]

Für i=1 bis Intervallanzahl werden folgende Rechenschritte durchgeführt:
Aus c_m und w kann jeweils über sin\beta = c_m/w der Wert  tan \beta ermittelt werden:

    \[\boldsymbol {\tan\beta_i=\frac{\left(c_{mi}/w_i\right)}{\sqrt{1-\left(c_{mi}/w_i\right)^2}}}\]

Für die Berechnung des Integrals bestimmt man zunächst die Werte B_i:

    \[\boldsymbol {B_i=\frac{1}{r_i\cdot tan\beta_i}}\]

Das Integral selbst wird als Summe schmaler Flächenstreifen aufgefasst, die als Abszisse den Zuwachs dr und als Ordinate die Werte der jeweiligen Funktion B haben. Ein Flächenstreifen hat demnach folgenden Flächeninhalt:

    \[\boldsymbol {\Delta f_i=\Delta r \cdot \frac{B_i+ B_{i-1}}{2}}\]

Zur Bestimmung des Winkels \varphi_i muss nur noch die Summe aller \Delta f_i von r_1 bis r_i gebildet werden und mit 180/ \pi multipliziert werden:

    \[\boldsymbol {\varphi_i=\frac{180}{\pi}\cdot\sum_{r_1}^{r_i}\Delta f_i}\]

Die berechnete Schaufelform stellt die Arbeitskante der Schaufel dar. Die Schaufeldicke wird auf der Rückseite aufgetragen.
Man kann die errechnete Linie als Mittellinie (neutrale Faser) der Schaufel auffassen.

 

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