4.9 Theoretische Hauptgleichung für Strömungsmaschinen

Der Energieumsatz einer idealisierten Strömung im Schaufelrad einer Strömungsmaschine kann nach der von EULER aufgestellten allgemeinen Strömungsmaschinen-Hauptgleichung berechnet werden.
Euler hat für seine auf theoretischem Wege abgeleitete Formel folgende Einschränkungen postuliert:

a)   das Arbeitsmittel muss inkompressibel und reibungsfrei sein
b)   die Strömung muss exakt schaufelkongruent verlaufen
c)   alle Stromfäden müssen die gleiche Form haben
d)   der Einfluss der Schwere wird vernachlässigt
e)   die Strömung muss stationär sein

Für die Theoretische Hauptgleichung für Strömungsmaschinen ergeben sich unterschiedliche Schreibweisen, auf die nachfolgend eigegangen werden soll:

1. Ausgehend vom Drallsatz erhält man nach Bohl/Elmendorf: Strömungsmaschinen I und II, Vogel Buchverlag Würzburg die folgenden Beziehungen zwischen der spezifischen Stutzenarbeit Y und den im Schaufelrad vorhandenen Strömungsgeschwindigkeiten und Geometrien:

Das von den Radschaufeln auf die Strömung übertragene Drehmoment beträgt:

    \[\boldsymbol {M_{d}=\dot{m}\cdot \left(c_{u2}\cdot r_{2}-c_{u1}\cdot r_{1}\right)}\]

Die vom Schaufelrad theoretisch aufgenommene Leistung beträgt:

    \[\boldsymbol {P_{th \,\infty}=M_d \cdot \omega}\]

Die theoretische Schaufelradleistung ergibt sich außerdem aus dem Energieumsatz:

    \[\boldsymbol {P_{th \,\infty}=\dot{m} \cdot Y_{th\;\infty}}\]

Durch Gleichsetzen erhält man:

    \[\boldsymbol {M_{d}\cdot \omega=\dot{m} \cdot Y_{th\;\infty}}\]

    \[\boldsymbol {\dot{m}\cdot\left(c_{u2}\cdot r_{2}-c_{u1}\cdot r_{1}\right)\cdot\omega=\dot{m}\cdot Y_{th \, \infty}}\]

    \[\boldsymbol {Y_{th \, \infty}=\omega \cdot\left(c_{u2}\cdot r_{2}-c_{u1}\cdot r_{1}\right)}\]

Da die Umfangsgeschwindigkeit u das Vektorprodukt aus Winkelgeschwindigkeit \omega und Radiusvektor r ist

    \[\boldsymbol {\vec{u}=\vec{\omega}\,\text{x}\,\vec{r}},\]

gilt für die theoretische spezifische Stutzenarbeit einer Pumpe:

Theoretische Hauptgleichung:

    \[\boldsymbol {Y_{th\,\infty}=c_{u2}\cdot u_{2}-c_{u1}\cdot u_{1}}\]

(Für eine Turbine gilt:

    \[\boldsymbol {Y_{th\,\infty}=c_{u1}\cdot u_{1}-c_{u2}\cdot u_{2}})\]

formelzeichen 4 92. Soll die theoretische Hauptgleichung durch Pumpenkenngrößen mit drallfreier Zuströmung ausgedrückt werden, ergibt sich:
Mit

    \[\boldsymbol {c_{u1}=0}\]

für drallfreie Zuströmung wird die theoretische Hauptgleichung

    \[\boldsymbol {Y_{th\,\infty}=c_{u2}\cdot u_{2}}.\]

Mit der Formel zur Schaufelwinkelberechnung (siehe Kapitel 4.11 Schaufelradberechnung)

    \[\boldsymbol {\tan\beta_2=\frac{c_{m2}}{u_2-c_{u2}}}\]

folgt

    \[\boldsymbol {c_{u2}=u_{2}-c_{m2}\cdot \cot\beta_2}.\]

Mit

    \[\boldsymbol {c_{m2}=k_{2}\cdot \frac{\dot{V}}{\pi \cdot D_{2}\cdot b_{2}}}\]

folgt

    \[\boldsymbol {c_{u2}=u_{2}-\frac{\dot{V}\cdot \cot\beta_2}{\pi \cdot D_2\cdot b_{2}}\cdot k_2}.\]

Diese Formel in die theoretische Hauptgleichung für drallfreie Zuströmung (s.o) Y_{th \infity} =c_{u2} \cdot u_2
eingesetzt ergibt:

    \[\boldsymbol {Y_{th\,\infty}=u_2^2-u_{2}\cdot \frac{\dot{V}\cdot \cot\beta_2}{\pi\cdot D_{2}\cdot b_{2}}\cdot k_{2}}\]

Mit

    \[\boldsymbol {n=\frac{u_2}{\pi\cdot D_2}}\]

wird:

    \[\boldsymbol {Y_{th\, \infty}=u_2^2-\frac{n\cdot \cot\beta_2 \cdot k_{2}}{b_2}\cdot\dot{V}}\]

Hier sei nochmals darauf hingewiesen, dass diese Gleichung nur für drallfreie Zuströmung ins Radialrad gilt, also für \alpha=90°.
Der Faktor k_2 dient der Berücksichtigung der Schaufeldicke am Schaufelradaustritt und kann zunächst zur Berechnung der theoretischen Stutzenarbeit Y_{th\,\infty} mit k_2 = 1 gesetzt werden, da von unendlich vielen und unendlich dünnen Schaufeln ausgegangen wird.

 

3. Eine weitere Interpretation der theoretischen Hauptgleichung für Strömungsmaschinen ergibt sich bei Anwendung des Cosinus-Satzes und verschiedenen Umformschritten von

    \[\boldsymbol {\vec{c}=\vec{u}+\vec{w}}.\]

Auf die einzelnen Rechenschritte soll hier verzichtet werden. Es ergibt sich

    \[\boldsymbol {Y_{th\,\infty}=\underbrace{\frac{c_2^2-c_1^2}{2}}_{\text{I}}+\underbrace{\frac{u_2^2-u_1^2}{2}}_{\text{II}}-\underbrace{\frac{w_2^2-w_1^2}{2}}_{\text{III}}}\]

[I]    Zunahme an spezifischer Energie durch Anwachsen der absoluten Geschwindigkeit.
[II]   Zunahme der spezifischen Energie durch Fliehkraft.
[III]  Zunahme der spezifischen Energie durch Querschnittserweiterung der Schaufelkanäle, d.h. Verringerung der relativen Geschwindigkeit im Schaufelkanal

 

4. Eine weite Schreibweise der theoretischen Hauptgleichung wird in  Bohl/Elmendorf: Strömungsmaschinen I und II, Vogel Buchverlag Würzburg hergeleitet:

    \[\boldsymbol {Y_{th\, \infty}=\frac{\Gamma_L \cdot \omega}{2\cdot \pi }=\frac{z\cdot \Gamma_{Sch}\cdot \omega}{2 \cdot \pi}}\]

mit

    \[\boldsymbol {\Gamma_L=z \cdot\Gamma_{Sch}=2\cdot \pi \cdot\frac{M}{\dot{m}}}\]

(\Gamma_L=Zirkulation des Laufrades, \Gamma_{Sch}=Zirkulation der Einzelschaufel und z=Schaufelzahl)

 

Folgend nochmals zusammengefasst die vorher diskutierten und hergeleiteten 4 Schreibweisen der theoretischen Hauptgleichung für Strömungsmaschinen (Eulersche Hauptgleichung):

    \[\boldsymbol {Y_{th\,\infty}=c_{u2}\cdot u_{2}-c_{u1}\cdot u_{1}}\]

    \[\boldsymbol {\text {nur f\"ur } \alpha =90^\circ: Y_{th\, \infty}=u_2^2-\frac{n\cdot \cot\beta_2 \cdot k_{2}}{b_2}\cdot\dot{V}}\]

    \[\boldsymbol {Y_{th\,\infty}=\frac{c_2^2-c_1^2}{2}+\frac{u_2^2-u_1^2}{2}-\frac{w_2^2-w_1^2}{2}}\]

    \[\boldsymbol {Y_{th\, \infty}=\frac{\Gamma_L \cdot \omega}{2\cdot \pi }=\frac{z\cdot \Gamma_{Sch}\cdot \omega}{2 \cdot \pi}}\]

 

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